3D Vektörler

3D Vektör Temelleri

Tanım 4.1 (3D Vektör)

Bir 3D vektör, üç boyutlu uzayda büyüklük ve yöne sahip matematiksel nesnedir.

Gösterim: v = (x, y, z) veya v = x·i + y·j + z·k

Burada i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) birim vektörleridir.

Teorem 4.1 (3D Vektör Büyüklüğü)

v = (x, y, z) vektörünün büyüklüğü:

|v| = √(x² + y² + z²)

İspat 4.1 (3D Büyüklük Formülü)

Pisagor teoremini iki kez uygulayarak:

1. xy-düzlemindeki izdüşüm: d₁ = √(x² + y²) 2. d₁ ve z'yi kullanarak: |v| = √(d₁² + z²) = √((√(x² + y²))² + z²) = √(x² + y² + z²)

Bu ispat, Pisagor teoreminin 3 boyuta genişletilmesidir.

Örnek 4.1

v = (3, 4, 5) vektörünün büyüklüğünü hesaplayınız.

Çözüm: |v| = √(3² + 4² + 5²) = √(9 + 16 + 25) = √50 ≈ 7.07